úterý 6. září 2011

Doplnění kvadratického trojčlenu na čtverec a rozklad mnohočlenu v komplexním oboru čísel

Ti z vás, kteří absolvovali nějaký typ gymnázia se zřejmě s metodou doplňování na čtverec již setkali. Já na ni bohužel narazil až z nutnosti při rozkladu polynomů n-tého stupně na kořenové činitele. O co tedy vlastně jde? Pokusím se to vysvětlit co nejjednodušeji (proto prosím omluvte různé nepřesnosti) právě na rozkladu polynomu na kořenové činitele.

Polynom x5 - 3x4 - 6x3 + 11x2 + 15x + 18 je pátého stupně, tudíž má 5 kořenů. Pomocí Hornerova schématu nám vyjdou 3 kořeny c1=3; c2=3; c3=-2 a zbytkový polynom x2 + x + 1. (x - 3) (x - 2) (x - 3) (x + 2) x2 + x + 1 je reálný rozklad (rozklad v oboru R) polynomu, tj. postupným roznásobením dostaneme zpět x5 - 3x4 - 6x3 + 11x2 + 15x + 18. My ale chceme znát všechny kořeny, tzn. všech 5 kořenů. Jak asi vidíte pro zbytkový polynom x2 + x + 1 neexistuje žádné takové reálné číslo, kterým by jsme po dosazení dostali 0. Jinak řečeno, zbylé dva kořeny nebudou reálným číslem. Potřebujeme se tedy dostat k číslům komplexním.

Zde přichází ke slovu metoda doplnění na čtverec (Doplnění kvadratického trojčlenu na druhou mocninu lineárního dvojčlenu). Jinak řečeno potřebujeme z kvadratického trojčlenu x2 + x + 1 vytvořit produkt součinu lineárního dvojčlenu (a + b)*(a + b) tzn. a2 + 2ab + b2. Pro tento účel existují různé vzorce jako např.: ax2 + bx + c2 = a(x2 + bax + ca) = a[(x + b2a)2 - D4a2]. Nebo jednodušší, podle funkce f(x) = (x + m)2 + n, ve kterém je očividný postup, po jehož porozumění není třeba si žádný vzorec pamatovat. Tento princip se to pokusím vysvětlit. Máme-li tedy kvadratický trojčlen x2+x+1, který potřebujeme doplnit na druhou mocninu lineárního dvojčlenu postupujeme následně. Podle vzorce a2 + 2ab + b2 přepíšeme výraz jako [x2 + 2x * 12 + (12)2 - (12)2] + 1. Mechanika postupu je triviální: přepíšeme x2, čímž dostáváme člen a2. Poté hledáme takové číslo b, aby platilo 2a * b = 2ab = x To je v našem případě 12, 2x * 12 = x. Člen b je tedy roven 12, jako další věc připíšeme tedy další komponentu vzorce, tedy b2. Nyní nám zbývá od celého vzorce odečíst b2 a opsat člen c. Vypadá to asi takhle:

[a2 + 2ab + b2 - b2] + c
[x2 + 2x * 12 + (12)2 - (12)2] + 1

Nyní dokončíme úpravu na (a+b)2. [x2 + 2x * 12 + (12)2 - (12)2] + 1 =
[(x + 12)2 - 14] + 1 = (x + 12)2 + 34.

Po úpravě na druhou mocninu lineárního členu (a + b)2 + c, stačí celý výraz rozložit na kořenové činitele. Tedy na (a + b + √c)*(a + b + √c), což vypadá následovně:

(x + 12)2 + 34 = (x + 12 + √32i) (x + 12 + √32i)

Tak a je to :), to je celé. Získali jsme rozklad na kořenové činitele v oboru komplexních čísel: (x - 3)2 (x - 2) (x + 2) (x + 12 + √32i) (x + 12 + √32i). Jde o triviální věc u které je třeba být pouze pozorný a neudělat nějakou aritmetickou chybu. Doufám, že jsem alespoň někomu usnadnil život a nenadělal přitom moc chyb a nepřesností. Případné připomínky uvítám v komentářích.

0 komentářů:

Okomentovat

 
 
Copyright © Dobrodružství fyziky
Blogger Theme by BloggerThemes Design by Diovo.com